Inhoud:

Cirkels

De kegel

Van kegel naar bol

De bol

Inleiding:

p wordt toegepast in diversen formules. We zullen hieronder de formules van een aantal figuren geven en controleren of deze formules kloppen.

Cirkels:

We hebben p omschreven als:

de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel.

Of, als we de straal r van de cirkel gebruiken:

omtrek = 2pr.

Deze omtrekformule is dus niets bijzonders, het legt gewoon vast wat we onder het getal p verstaan. p komt ook voor als in de oppervlakteformule van een cirkel:

Oppervlakte = pr² .

Dit is opmerkelijk: oppervlakte en omtrek hebben in eerste instantie namelijk niets met elkaar te maken. In deze paragraaf willen we aangeven waarom oppervlakte = pr². We hebben hiervoor het principe van Archimedes nodig, dat zegt dat we cirkels met veelhoeken kunnen benaderen. (We hebben de methode van Archimedes al besproken en uitgewerkt bij het onderdeel “Berekeningen”.)

Verder hebben we de oppervlakteformule voor een driehoek nodig:

opp = basis x ½ hoogte

Om de oppervlakteformule te zien, kunnen we het bovenstuk van de driehoek uitklappen en vervolgens de oppervlakte van de zo ontstane rechthoek uitrekenen:

Bovenstaand meetkundig argument gaat alleen op als de beide liggende hoeken van de driehoek kleiner dan 90 graden zijn. Dat is hier het geval.

Nu nemen we een omgeschreven veelhoek van een cirkel met straal r in gedachten.

Het leuke van het argument dat komen gaat, is dat deze veelhoek helemaal niet regelmatig hoeft te zijn. We kunnen een willekeurige omgeschreven veelhoek nemen, en de enige voorwaarde is dat de zijden aan de cirkel raken. In het volgende plaatje hebben we een omgeschreven zevenhoek genomen:

Tevens hebben we de zevenhoek in driehoeken opgedeeld en de hoogtelijn van elke driehoek met een stippellijn aangegeven. De hoogte van elke driehoek is natuurlijk r. De basis van elke driehoek is een van de zijden van de zevenhoek. De oppervlakte van de zevenhoek is gelijk aan de gezamenlijke oppervlakte van de driehoeken. Dat wil zeggen ^r/₂ maal de som van de bases van de driehoeken. De som van de bases van de driehoeken is juist precies de omtrek van de zevenhoek.

We concluderen dus,

Oppervlakte = ½ r x omtrek

Hopelijk is het duidelijk dat deze uitspraak waar is voor elke omgeschreven veelhoek, niet alleen de zevenhoek die we net schetsten. Dus ook voor de veelhoeken die steeds meer op een cirkel lijken. Laten we nu Archimedes’ principe toepassen dat zegt dat omtrek en oppervlak van veelhoeken die steeds meer op een cirkel lijken in waarde naar omtrek en oppervlak van de cirkel gaan. Dan geldt ook voor de cirkel dat oppervlakte = ½ r x omtrek. Gebruiken we nu omtrek = 2pr dan volgt hieruit:

oppervlakte = p r²

En dit is precies wat we wilden!

De kegel:

Kegels bestaan in alle soorten en maten: kies in het platte vlak een willekeurige figuur G. Kies boven dat vlak een punt T. Trek nu van elke punt van G een rechte lijn naar T. Deze lijnen zullen een figuur opvullen die we de kegel met grondvlak G en top T noemen. Een voorbeeldkegel:

De afstand van de top tot het vlak waarin het grondvlak ligt noemen we de hoogte van de kegel. We geven die met de letter h aan. De inhoudsformule voor de kegel gaat als volgt:

Inhoud kegel = ¹/₃h x oppervlakte G

Deze formule lijkt een beetje op die voor de oppervlakte van een driehoek.

De basis van een driehoek kunnen we namelijk ook zien als een grondvlak van de driehoek, maar dan 1-dimensionaal. Verder is de factor ½ veranderd in ¹/₃.

Dit heeft te maken met het feit dat een kegel 3-dimensionaal object is, en de driehoek een 2-dimensionaal object. Het bewijs van de juistheid van de inhoudsformule van de kegel is een stuk ingewikkelder dan de oppervlakteformule voor een driehoek. We konden de driehoek in stukken opdelen zodat deze na het omklappen een rechthoek opleverde. Daardoor kon de oppervlakte berekend worden. Dit kan niet bij een kegel. In het algemeen kunnen we een kegel niet in stukken opdelen zodat ze na herschikking bijvoorbeeld een rechthoekig blok opleveren. Dit gaat zelfs niet bij een eenvoudige figuur als de piramide (een kegel met een vierkant als grondvlak). De reden hiervoor is niet dat we daar te dom voor zijn. Het blijkt gewoon een onmogelijkheid. Het kan gewoon niet. Misschien dat je ooit eens een afleiding van de inhoud van een kegel hebt gezien met “knippen & plakken”. Maar zeer waarschijnlijk gebeurt daar iets extra’s waardoor het niet alleen maar knippen en plakken is. De enige manier om toch een inhoud van een kegel te krijgen is met behulp van een redenatie waarin een limiet wordt gebruikt. De differentiaal- en integraalrekeningen zijn daar voorbeelden van. Het volgt een argument om de inhoud van een kegel te bepalen.

Gegeven is een kegel met hoogte h, oppervlakte grondvlak G en volume V. We vergroten de kegel vanuit de top met een factor ג die iets groter is dan 1.

Aan het eind van onze argumentatie zullen we ג↓1 nemen. Het symbool ג is trouwens de Griekse letter l. In de wiskunde worden vaak Griekse letters voor getallen gebruikt. Dat zie je al aan p, de Griekse letter p.

Na vergroting hebben we een nieuwe kegel met hoogte ג h, grondvlak ג²G en volume

ג³V. Hier is een plaatje van de oorspronkelijke kegel en de uitvergrote kegel in een:

Het verschil tussen deze twee kegels is een soort plak met hoogte

ג h –h = (ג -1)h

oppervlak van de onderkant ג²G en oppervlakte bovenkant gelijk aan G.

Het volume van deze plak ligt dus tussen:

(ג -1)h x G en (ג -1)h x ג G

Anderzijds is het volume van de plak gelijk aan het verschil:

ג³V – V = (ג³-1)V

Dus:

(ג -1)hG ≤ (ג³-1)V ≤ (ג -1)ג²hG

Deel nu alle termen door het positieve getal ג -1 en gebruik in de middelste term dat

ג³-1/ג -1 = 1+ ג + ג²

We vinden:

hG ≤ (1+ ג + ג²)V ≤ ג²hG

Laat nu ג naar 1 dalen, dan:

hG ≤ 3V ≤ hG

Met andere woorden, 3V is zowel groter als kleiner of gelijk aan hG.

Conclusie: 3V = hG en onze formule V = ¹/₃hG volgt.

Van kegel naar bol:

Het klinkt misschien als een verrassing, maar nu we weten wat de inhoud van een kegel is, kunnen we tevens de inhoud van een bol bepalen. Archimedes had hiervoor een zeer doeltreffend argument. In deze paragraaf gebruiken we een variant van Archimedes’ argumentatie. We nemen twee cilinders, elk met een straal van r en hoogte r. In de ene denken we ons een halve bol, in een andere een kegel waarvan de top midden op de bodem van de cilinder ligt en het grondvlak het bovenste vlak van de cilinder is:

We doorsnijden beide figuren op dezelfde hoogte z met een snijvlak loodrecht op de cilinderas. Hier is een zijaanzicht van beide doorsneden:

De uitdrukking √(r² – z²) in het linkerplaatje is een gevolg van de stelling van Pythagoras. Dat wil zeggen, a²+b²=c² waarbij in dit geval a = z, b = √(r²-z²) en c = r. Hier zijn de twee snijfiguren van bovenaf gezien:

In het linkerplaatje hebben we het binnengebied van de bol gearceerd, in het middelste plaatje het binnengebied van de kegel. De oppervlakte van het linkergebied is :

p (√r² – z²)² = p (r² – z²).

Tellen we hierbij de oppervlakte van het middelste gebied, pz² op, dan krijgen we als som pr², de oppervlakte van een cirkel met straal r. De gearceerde gebieden hebben samen dus dezelfde oppervlakte als de doorsnijding van het vlak met de cilinder, onafhankelijk van de waarde van z. Dat betekend dat de som van de inhouden van halve bol en kegel samen gelijk is aan de cilinderinhoud, want:

hoogte x grondvlak = r x pr² = pr³

Dus:

Inhoud halve bol + inhoudkegel = pr³.

De inhoud van de halve bol word daarmee:

pr³ – inhoud kegel = pr³ - ¹/₃r x pr² = ^2p/₃ x r³

De inhoud van de hele bol is tweemaal zo groot, dat wil zeggen

^4p/₃ x r³.

Wij kunnen ons voorstellen dat Archimedes zeer trots geweest is op een dergelijke vondst. Dat blijkt ook wel uit het feit dat Archimedes instructies heeft gegeven om de bol en de cilinder samen op zijn grafsteen af te beelden.

Tegenwoordig gebruikt men de integraalrekening om inhouden van 3-dimensionale objecten te bepalen. De integraalrekening stelt ons in staat om op systematische manier inhouds- en oppervlakteberekeningen te doen, waardoor we een soort mechanisatie van dit soort berekeningen hebben gekregen. Daarmee zijn het vinden van een oppervlakte en inhoud van een figuur niet meer voorbehouden aan geniale figuren zoals Archimedes.

De bol:

In de vorige paragrafen hebben we uit omtrek = 2pr de oppervlakteformule van een cirkel afgeleid, en daarmee de inhoudsformule voor de bol. Er is nog een formule die ontbreekt, de oppervlakteformule voor een bol:

oppervlakte = 4pr²

Na alles wat we in wat we in de vorige paragrafen hebben gedaan is dit niet lastig meer, je moet er alleen opkomen. We volgen een zelfde redenatie als bij de cirkel. Waarbij we van omtrek = 2 p^r naar oppervlakte = pr² gingen. Alleen gebruiken we geen omgeschreven veelhoeken meer, maar in plaats daarvan omgeschreven veelvlakken. In het plaatje hieronder zie je een voorbeeld van een aantal omgeschreven N-vlakken voor diverse waarden van N:

Een omgeschreven veelvlak is een veelvlak waarvan de vlakjes allemaal aan de bol raken. Stel dat de bol straal r heeft. Elk van de zijvlakken kunnen we zien als het grondvlak van een kegel waarvan de top in het middelpunt van de bol ligt. De hoogte van elke van deze kegel is r. De inhoud van zo’n kegel is dus:

¹/₃r x oppervlak zijvlak

Maar de inhoud van alle kegels samen is de inhoud van het veelvlak en het oppervlak van alle zijvlakken is precies het oppervlak van het veelvlak. Conclusie, voor elk omgeschreven veelvlak van een bol met straal r geldt:

Inhoud = ¹/₃r x oppervlak

Dit geldt voor elk omgeschreven veelvlak, dus ook voor de veelvlakken die steeds meer op een bol lijken. Er moet ook voor de bol gelden dat inhoud = ¹/₃r x oppervlak. De inhoud van de bol hebben we eerder gevonden: ^4p/₃ x r³. Daaruit concluderen we dat:

^4p/₃ x r³ = ¹/₃ x oppervlak bol

En daarmee volgt gemakkelijk dat het oppervlak van de bol gelijk is aan 4pr².