Inhoud:
Differentiaal
en integraal rekenen
Opmerking:
Uitwerkingen
van de p-waarden
staan bij “Berekeningen”.
Uitwerkingen
van wiskundigen staan bij “Personen”.
p berekenen is al vele eeuwen geleden begonnen. Zelfs in het oude testament wordt er al over de waarde van p gesproken.
De bijbelse waarde van p is 3. Deze waarde is verkregen door metingen, niet door berekeningen. In het Oude Testament wordt het paleis en het bad van koning Salomo beschreven, waaruit ook blijkt dat de p-waarde 3 is.
De Babyloniërs (zo’n 2000 voor Christus) hadden als p-waarde 31/8. (Dit is p in één decimaal nauwkeurig). Lange tijd dacht men dat de Babyloniers voor de oppervlakte van een cirkel drie keer het kwadraat van de straal namen. In 1936 heeft men in Susa, een paar honderd kilometer van Babylon, een aantal kleitabletten gevonden waaruit kon worden afgeleid dat men een waarde van 31/8 heeft gebruikt om de oppervlakte van een cirkel te berekenen.
De
Oud-Egyptenaren hadden een p-waarde van 3,16049…. Dit
staat beschreven in de Papyrus Rhind (1650 voor Christus). (Zie plaatje
hiernaast). De Egyptische klerk Ahmes schreef dat de oppervlakte van een
cirkel gelijk is aan 8/9 maal de diameter in het
kwadraat, dat geeft een waarde van (16/9)² ofwel
3,16049…. (Dit is p in
één decimaal nauwkeurig.)
De Chinese waarde van p werd meestal uit gemakszucht op 3 gezet, en later berekend als √10 (deze waarde werd ook gebruikt door de Hindoes) of als 355/113. (Deze laatste waarde werd pas gehanteerd na Archimedes, daarover wordt hieronder meer geschreven.)
In de Griekse oudheid is Archimedes (278-212 voor Christus) begonnen met het uitrekenen van de waarde van p. Door denkkracht leidde hij af dat p een waarde moest hebben die ligt tussen de 310/71 en de 31/7. Hij berekende p in 3 decimalen nauwkeurig. Tot aan de 17e eeuw was Archimedes’ methode vrijwel de enige methode waarmee p berekend kon worden.
In de Romeinse tijd nam men voor p weer het getal 31/8, waarschijnlijk omdat dit makkelijker rekende als de p-waarde van Archimedes.
In 500 na Christus had men p in vier decimalen nauwkeurig gevonden in India. Rond dezelfde periode hadden de chinezen een p-waarde die nauwkeurig was in 6 decimalen (zie ook hierboven).
In 1429 berekende de Perzische wiskundige Al-Kashi p in 16 decimalen nauwkeurig. Hij deed dit door de berekeningen met de 96-hoek van Archimedes verder uit te werken. (Hij verdubbelde hem 23 keer). Hij kreeg gigantisch lange berekeningen, maar wilde p zo nauwkeurig mogelijk berekenen, omdat hij de baan van Saturnus bestudeerde.
Bijna 200 jaar later, in 1609, berekende de Leidse hoogleraar Ludolph van Ceulen p in 34 decimalen nauwkeurig. Ook hij maakte gebruik van de methode van Archimedes.
Differentiaal en integraal rekenen:
In de 17e eeuw werd het differentiaal en integraal rekenen ontdekt door Newton en Leibniz. Hierdoor kon p nauwkeuriger en gemakkelijker worden berekend. Er kwamen namelijk allerlei formules waarmee p sneller berekend kon worden. In een uur tijd kon op een gegeven moment p in 20 decimalen nauwkeurig worden berekend (met de methode van Machin).
Met de komst van de computer in de 20e eeuw, werd het steeds makkelijker om p te berekenen. Er werd software ontwikkelt om p te berekenen. De Eniac, een van de eerste computers, berekende in 1950 al tweeduizend decimalen van p. De helft van de rekentijd ging op aan het controleren van de uitkomst. Tot halverwege de jaren 70 werd er gebruik gemaakt van de methode van Machin om p te berekenen. Pas vanaf 1974 werden er nieuwe methoden ontdekt. Tegenwoordig gaat het berekenen van p steeds sneller, want de technologie staat niet stil! Computers worden sneller en beter.
De laatste p-formule is zelfs door de computer gevonden! De computer doet tegenwoordig dus verzinnen, verwerken en antwoorden terwijl de mens toekijkt.
Als van Ceulen dit hoort, draait hij zich om in zijn graf. Zijn jarenlange werk om p in 34 decimalen te berekenen is tegenwoordig een lachertje!