Inhoud:
Opmerking: over een aantal personen is het leven beschreven. Zie bij “Personen”.
In 1 Koningen 7:23 ver 13-51 staat het volgende: “(…) Verder maakte hij de gegoten zee; tien ellen was zij van haar enen tot haar anderen rand, rondom rond, en van vijf ellen in haar hoogte en een meetsnoer van dertig ellen omving ze rondom.” (Eén El is ongeveer 49,5 cm.) (Berekening: omtrek/diameter = p; 30/10 = 3).
p-waarde = 3.
De Babyloniërs (zo’n 2000 voor Christus) hadden als p-waarde 31/8. (Dit is p in één decimaal nauwkeurig). Lange tijd dacht men dat de Babyloniërs voor de oppervlakte van een cirkel drie keer het kwadraat van de straal namen. In 1936 heeft men in Susa, een paar honderd kilometer van Babylon, een aantal kleitabletten gevonden waaruit kon worden afgeleid dat men een waarde van 31/8 heeft gebruikt om de oppervlakte van een cirkel te berekenen.
Oud-Egyptenaren:
De Oud-Egyptenaren hadden een p-waarde van 3,16049…. Dit staat beschreven in de Papyrus Rhind (1650 voor Christus). De Egyptische klerk Ahmes schreef dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan 8/9 maal de diameter in het kwadraat, dat geeft een waarde van (16/9)² ofwel 3,16049….
Wat op hetzelfde neerkomt, maar makkelijker is om te begrijpen
is het volgende: Het oppervlak van de
cirkel met middellijn d werd uit de formule(d-d/9)²
berekend, dit leidt tot een waarde van = 256/81 (= 3,16049…).
In Papyrus Rhind
staat het volgende over de inhoud van een cilinder met een diameter 9, en een hoogte
10:
Volgens de wetenschappers Boyer & Merzbach geeft het
probleem met getal 48 van 
de
papyrus Rhind misschien een aanwijzing. In het probleem wordt een
(onregelmatige) achthoek gemaakt van een vierkant met zijde 9. Door de zijden
in drieën te verdelen en de buitenste punten te verbinden ontstaat er door de driehoekjes
weg te laten een achthoek. (Zie tekening hiernaast). De oppervlakte van deze
achthoek (die is 63) wijkt niet veel af van de oppervlakte van een vierkant met
zijde 8. De oppervlakte van de ingeschreven cirkel is dus 64. Dit zou leiden
tot een waarde van p = 4 x (8/9)² = 256/81
= 3,16049…
De Chinese waarde van p werd meestal uit gemakszucht op 3 gezet, en later berekend als √10 (deze waarde werd ook gebruikt door de Hindoes) of als 355/113. (Deze laatste waarde werd pas gehanteerd na Archimedes, daarover wordt hieronder meer geschreven.)
In de Griekse oudheid is Archimedes begonnen met het uitrekenen van de waarde van p. Door denkkracht leidde hij af dat p een waarde moest hebben die ligt tussen de 310/71 en de 31/7. Hieronder proberen we Archimedes’ rekenmethode uit te leggen.
Het idee van Archimedes is dat de omtrekken van regelmatige veelhoeken uiteindelijk de omtrek van een cirkel benaderen.
Een 96-hoek lijkt al op een echte cirkel. Stel nu het volgende: een echte cirkel heeft een diameter 1. De omtrek van die cirkel is dan p. (Want de formule luidt: p is de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn middellijn.) Voor elke waarde van N heeft die cirkel een ingeschreven - en een omgeschreven regelmatige N-hoek.
Een ingeschreven veelhoek heeft zijn hoekpunten op de cirkel, en van een omgeschreven veelhoek raken de zijden aan de cirkel. Dit blijkt ook uit de tekeningetjes hiernaast.
Voor de duidelijkheid noemen we de ingeschreven regelmatige N-hoek PN, en de omgeschreven N-hoek QN. p ligt tussen deze twee waarden in, dus geldt er het volgende:
PN
< p < QN.
Wanneer je N heel groot maakt, gaan PN en QN steeds meer op een driehoek lijken (dit blijkt ook uit de tekeningetjes hierboven. Bij N=96 lijkt het al op een cirkel).
De waarden van PN en QN komen steeds dichter in de buurt van p als N groter wordt. Archimedes gebruikte vervolgens de volgende formules om P2N en Q2N uit PN en QN te berekenen:
Q2n
= 2PnQn/Pn + Qn
P2n
= √PnQ2n
Hieronder zullen
we deze formules verklaren. We beginnen met een “basis theorie”.
In dit plaatje is
één zijde van een ingeschreven en omgeschreven N-hoek getekend, aan een cirkel
met diameter 1.
Uit dit plaatje
volgt dat voor de ingeschreven N-hoek geldt: sin p/N en voor de omgeschreven
N-hoek tan p/N.
Hieruit volgt:
PN=N sin p/N
en QN=N tan p/N.
Om nu aan te tonen
dat de formules kloppen, maken we gebruik van de gonioformules:
Sin 2x = 2 sinx x cosx
Cos 2x = 2(cosx)2 –1
Uit deze formules valt
het volgende af te leiden:
Cos
2x/sin2x + 1/sin2x
= cosx/sinx
En daar valt weer
het volgende uit af te leiden:
1/tan2x
+ 1/sin2x = 1/tanx
Vul nu in deze
formule voor x = p/2N in, en deel beide zijden
door 2N. Gebruik de formules voor PN en QN (die hierboven
zijn uitgelegd bij het stukje “Basis Theorie”). Dan volgt:
½ (1/Qn
+ 1/Pn) = 1/Q2N
Daaruit volgt: Q2N = 2PnQn/Pn+Qn
Gebruik de
gonioformule voor sin2x. Je krijgt dan:
(sinx)2
= sin2x/2 x sinx/cosx
Vul nu in: x = p/2N en vermenigvuldig beide
zijden met (2N)2.
Je krijgt dan:
P22N
= PNQ2N, oftewel: P2n = √PnQ2n
Archimedes begon met N=6, vervolgens: N=12, N=24, N=48, N=96.
De waarden die hij eruit kreeg staan hieronder in de tabel:
|
N |
Pn |
Qn |
|
6 |
3,000000000… |
3,464101615… |
|
12 |
3,105828541… |
3,215390309… |
|
24 |
3,132628613… |
3,159659942… |
|
48 |
3,139350203… |
3,146086215… |
|
96 |
3,141031950… |
3,142714599… |
Archimedes is waarschijnlijk niet verdergegaan met het berekenen van N, omdat het heel veel rekenwerk was in die tijd om dat uit te rekenen. In zijn tijd was er een getalsnotatie die erg onhandig was. Probeer bijvoorbeeld maar deze Romeinse som uit te rekenen: XXIII x XC. Het kost heel veel moeite om het antwoord op te schrijven. Bovendien waren er in die tijd natuurlijk nog geen rekenmachines, alles moest uit het hoofd berekend worden.
Door de versnelde ontwikkeling van de wiskunde, met name de analyse, zijn er vanaf de 16e eeuw steeds meer p-formules ontdekt. Voor elke formule is er echter een limiet. Een van de eerste formules was die van de Franse wiskundige Viète (1540-1603). Een nadeel van deze formule is dat je bij elke volgende factor van het product weer een worteltrekking moet doen.
2/p = √2/2 x
√ (2+√2)/2 x √ (2+√ (2+√2))/2 x … (etc.)
Deze formule heeft een oneindig product. Een oneindig product is te zien als een limiet. We berekenen namelijk eerst het product van de 1e twee factoren, dan van de 1e drie factoren, dan van de 1e vier factoren, etc.
De uitkomsten die je achtereenvolgens krijgt, gaan steeds meer lijken op 2/p.
(Zie tabel hieronder):
|
n |
n-de factor |
Product van de 1e
n factoren |
|
1 |
0,707106781… |
0,707106781… |
|
2 |
0,923879532… |
0,653281482… |
|
3 |
0,980785280… |
0,640728861… |
|
4 |
0,995184726… |
0,637643577… |
|
5 |
0,998795456… |
0,636875507… |
|
6 |
0,999698818… |
0,636683692… |
|
7 |
0,999924701… |
0,636635751… |
|
8 |
0,999981175… |
0,636623767… |
|
9 |
0,999995293… |
0,636620771… |
|
10 |
0,999998823… |
0,636620022… |
|
11 |
0,999999705… |
0,636619834… |
Zoals in de tabel te zien is, gaan de afzonderlijke factoren snel richting het getal 1 toe. Dat betekent dus ook dat het product snel naar een bepaald getal toeklimt. Vergelijk je de laatste waarde in de rechterkolom met 2/p = 0,636619834…, dan vind je p in zes decimalen nauwkeurig. Na verdere berekening met de formule, blijkt dat na elke tien factoren p met ongeveer zes nauwkeurige decimalen toeneemt.
Uitleg Formule van Viète:
Om te bewijzen dat de formule van Viète klopt, maken we gebruik van twee gonio-formules. De eerste:
Sin
x = 2 sin x/2 x
cos x/2
Nu kunnen we de sinus van een hoek x schrijven als een product waarin een sinus en cosinus van de halve hoek x/2 voorkomen. Vul nu sin x/2 = 2sin x/4 x cos x/4 in. Je krijgt:
Sin
x = 4 sin x/4 x
cos x/2 x cos x/4
Op de factor sin x/4 passen we weer hetzelfde regeltje toe:
Sin x = 8 sin x/8 x
cos x/2 x cos x/4
x cos x/8
Na een aantal k van dergelijke stappen krijgen we de volgende formule:
Sin x = 2k sin x/2k x cos x/2 x cos x/4 x … x cos x/2k
Deel je nu aan allebei de kanten door x, dan krijg je:
Sin x/x = 2k/x
sin x/2k x
cos x/2 x cos x/4 x … x cos x/2k
Nu laten we k naar oneindig gaan. Dan geldt het volgende:
Na het nemen van de limiet houden we de volgende (opmerkelijke) formule over:
Sin x/x = cos x/2
x cos x/4 x
cos x/8 x …
In deze formule vullen we x = p/2 in, omdat sin p/2 = 1:
2/pi = cos p/4 x cos p/8 x cos p/16 x …
Nu moeten we alleen nog de cosinussen aan
de rechterkant van de formule uitrekenen. Hiervoor gebruiken we de tweede
gonioformule:
cos x = 2(cos x/2)2
– 1
Dit vermenigvuldigen we met 2:
2cos x
= (2cos x/2)2
– 2
We gaan worteltrekken:
2cos x/2 =
√(2+2cos
x)
Dankzij deze formule kun je de cosinus van
een halve hoek uitdrukken in de cosinus voor een hele hoek. Kijk eens:
2 cos p/4 =
√(2+2cos p/2) =
√2
2 cos p/8 =
√(2+2cos p/4) =
√(2+√2)
2 cos p/16 =
√(2+2cos p/8) =
√(2+√(2+√2))
Etc.
Zoals je kunt zien geven de cosinuswaarden
aanleiding tot de herhaalde worteltrekkingen. Nu hebben we Viète’s formule
aangetoond.
Een van de bekendste formule die als nadeel niet heeft dat je moet worteltrekken, is die van Wallis (1616-1703):
p =
2 x 2 x 2/1 x
3 x 4 x 4/3 x
5 x 6 x 6/5 x
7 x … (etc.)
Bij deze formule
is sprake van een limiet. Het product loopt immer oneindig lang door. Het
patroon van de formule is dat je bij de teller elke beurt de getallen met 2
hoger vermenigvuldigt. (2 x
2, dan 4 x 4, 6 x 6, etc.). Bij de noemer vermenigvuldig je
twee getallen met elkaar, met steeds 2 verschil. Bij elke volgende beurt
gebruik je het laatste getal als eerste getal. (1 x 3, dan 3 x 5, 5 x
7, etc.)
Nadeel van deze formule is dat het heel lang duurt voordat je een aantal decimalen van p hebt berekend. Kijk maar:
2 x 2 x 2/1 x 3 = 2,844444…
2 x 2 x 2/1 x 3 x 4 x 4/3 x 5 = 2,925714…
2 x 2 x 2/1 x 3 x 4 x 4/3 x 5 x 6 x 6/5 x 7 = 2,972154…
2 x 2 x 2/1 x 3 x 4 x 4/3 x 5 x 6 x 6/5 x 7 x 8 x 8/7 x 9 = 3,002175…
2 x 2 x 2/1 x 3 x 4 x 4/3 x 5 x … x 50 x 50/49 x 51 = 3,126078…
2 x 2 x 2/1 x 3 x 4 x 4/3 x 5 x … x 500 x 500/499 x 501 = 3,140023…
2 x 2 x 2/1 x 3 x 4 x 4/3 x 5 x … x 5000 x 5000/4999 x 5001 = 3,141435…
Zoals je ziet heb je pas na twintigduizend vermenigvuldigingen en delingen 3 decimalen van p nauwkeurig!
Ondanks de gigantische berekeningen die je krijgt, is het wel een opmerkelijke formule.
De natuurfilosoof Leibniz (1646-1716) heeft ook een formule voor p bedacht.
p/4 =
1/1
- 1/3 +
1/5
- 1/7 +
1/9
- … (etc.)
Het patroon is dat je elke beurt om en om optelt en aftrekt. De teller is altijd 1, de noemer neemt elke beurt met 2 toe.
Deze formule heeft als voordeel dat je niet elke beurt hoeft te worteltrekken (net als bij de formule van Wallis). Een nadeel van deze formule is (net als bij de formule van Wallis) dat je heel veel berekeningen moet uitvoeren voordat je een aantal decimalen van p hebt gevonden. Kijk maar:
4 (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11) = 2,97604…
4 (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … + 1/101) = 3,16119…
4 (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … + 1/1001) = 3,14358…
4 (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … + 1/10001) = 3,14179…
4 (1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … + 1/100001) = 3,14161…
Na ongeveer 50.000 (!!) termen heb je pas 3 decimalen van p gevonden. Deze formule is dus niet handig om p mee te berekenen.
(Opmerking: Bij het kopje “Reeks van Newton” wordt uitgelegd waarom het zolang duurt voordat je een aantal decimalen van p hebt gevonden.)
Newton (1643-1727) was natuurkundige en wiskundige. Hij berekende p in 16 decimalen nauwkeurig. De formule die hij hiervoor gebruikte was:
p/6 =
1/2 + (1/2 x
1/3
x 1/23)
+ … + (1 x 3 x … x (2k – 1)/2
x 4 x … (2k) x 1/2k + 1 x 1/22k+1)
+ …
Deze formule ziet er ingewikkeld uit, maar je kunt er p vrij snel mee berekenen. Na 10 termen te hebben berekend, heb je p al in 4 decimalen nauwkeurig. En na 50 termen krijg je p op 33 decimalen nauwkeurig.
Hoe komt het dat de formule van Newton wel snel convergeert, en die van Leibniz niet? Als een reeks convergeert, gaan de termen op den duur naar nul toe. Hoe sneller de termen naar nul gaan, hoe sneller het convergeert. Nu gaan we de k-de term van de formule van Newton met de formule van Leibniz vergelijken.
Voor de k-de term van de formule van Leibniz geldt het volgende:
(-1)k-1/2k+1
De absolute waarde van deze formule is:
1/2k+1
Voor de formule van Newton geldt het volgende bij een k-de term:
1
x 3 x … x (2k – 1)/2 x 4 x … (2k) x
1/2k + 1 x 1/22k
+ 1
Van belang is nu alleen het laatste
gedeelte van deze formule, 1/22k + 1.
De rest schatten we af, door te zeggen dat ze bij elkaar <1 zijn:
1
x 3 x … (2k – 1)/2 x 4 x … (2k) x
1/2k + 1
< 1
Daardoor is de k-de term in Newton’s reeks
kleiner dan 1/22k+1 = (1/2)2k+1.
Zoals je ziet gaat de k exponentieel
naar de nul toe, want er staat immers een k in de exponent. De formule
van Leibniz gaat veel langzamer naar nul, omdat het geen exponent bevat. In de
tabel hieronder is dat goed te zien:
|
|
Leibniz |
Newton |
|
K |
1/(2k
+ 1) |
(1/2)2k
+ 1 |
|
5 |
0,0909090909… |
0,0004882812… |
|
10 |
0,0476190476… |
0,0000004768… |
|
15 |
0,0322580645… |
0,0000000004… |
|
… |
… |
… |
De formule van de “Meetkundige som” (zie “Theorie” bij de inhoud) geeft de mogelijkheid om een aantal formules mee te maken, waar p mee berekend kan worden. We zullen er een behandelen:
De reeks van
Gregory:
De meetkundige som ziet er als volgt uit:
1 +
x + x2 + … + xn-1 =
1/1–x + Restn à Restn
= - xn/1-x
Vervangen we nu in de formule de x
door –x2, dan krijgen we:
1 +
(-x2) + (-x2)2 +
(-x2)3 + … + (-x2)n-1 =
1 – (-x2)n/1+x2
Na wegwerking van de haakjes:
1 –
x2 + x4 – x6
+ … + (-1)n-1 x2n-2 =
1/1 + x2 – (-1)n x2n/1+x2
Nu kiezen we een
getal a (0 ≤ a ≤ 1) en maken
wijzigen de formule van 0 naar a. de termen 1, -x2, x4,
-x6… (etc.) worden dan: a, -a3/3, a5/5, -a7/7… (etc.). Als we dit doen bij 1/1+x2
krijgen we arctan a. De formule komt er als volgt uit te zien:
a – a3/3
+ a5/5 – a7/7
+ … + (-1)n-1 a2n-1/2n-1
= arctan a + Restn
De Restn is in deze
formule een integraal:
Omdat het erg lastig is om deze integraal uit te rekenen, zullen we dat niet doen. We kunnen wel de absolute waarde bepalen, er geldt immers het volgende: x2n/1 + x2 ≤ x2n voor elke x op het interval [0,a]. Je krijgt:
Zoals uit de formule blijkt is a2n+1/2n+1 ≤ 1/2n+1. Wanneer je n naar oneindig laat gaan, gaat deze uitdrukking naar nul. Een gevolg hiervan is dat ook | Restn | naar nul toe gaat als n naar oneindig gaat.
Als we nu in de
formule (a – a3/3
+ a5/5 – a7/7
+ … + (-1)n-1 a2n-1/2n-1
= arctan a + Restn) n naar
oneindig laten gaan, dan krijg je:
a – a3/3
+ a5/5 – a7/7
+ … = arctan a
Deze formule heet de arctangensreeks,
en geldt voor elk getal dat tussen de nul en de een ligt (0 ≤ getal ≤ 1). Deze reeks wordt ook wel de reeks van
Gregory genoemd, maar dat is, achteraf, niet kloppend. Later ontdekte men
namelijk dat de arctangensreeks al zo’n 200 jaar eerder bekend was bij de
Indiase wiskundige Madahva.
De arctangensreeks kunnen we ook in de somnotatie noteren:
De a is vervangen door een x,
en we laten k naar oneindig lopen. (Voor uitleg over de somnotatie
zie bij “Theorie”)
We kunnen met de arctangensreeks p berekenen. Er is een formule (ontdekt door de wiskundige Euler (1707-1783)):
arctan
1/2 + arctan 1/3
= p/4
Dit is een handige formule, want als we van de arctangensreeks de eerste 10 beurten berekenen, en het vervolgens vermenigvuldigt met 4, dan hebben we p al op 6 cijfers achter de komma precies berekend:
1/2
– (0,5)3/3 + (0,5)5/5 –
(0,5)7/7 + … - (0,5)19/19 +
1/3 – (1/3)3/3
+ (1/3)5/5 –
(1/3)7/7 + … -
(1/3)19/19 =
0,7853981425…
0,7853981425
x 4 = 3,14159257…
We gaan nu kijken of de formule klopt:
Omdat tan p/4 = 1 is het voldoende om het volgende te controleren:
tan
( arctan 1/2 + arctan 1/3)
= 1
We gebruiken een bekende standaardformule
voor de berekening van de arctangenten, namelijk een optelformule voor de
tangens:
tan(a
+ b) = tan a + tan b/1 – tan
a x
tan b
We vullen in voor de a arctan ½ en
voor b arctan 1/3. Verder gebruiken we:
tan (arctan ½) = ½
en: tan (arctan 1/3) = 1/3.
We krijgen dan de volgende formule:
tan
(arctan ½ + arctan 1/3) = ½ +
(1/3)/1 – ½ x (1/3) = 0,83333.../0,83333…
= 1
Conclusie: de formule van Euler klopt.
John Machin (1680-1752) maakte in 1706 gebruik van de arctangensformules om p in 100 cijfers achter de komma te berekenen. Zijn formule:
p/4 = 5
arctan 1/7 +
2 arctan 3/79
Omdat 1/7 en 3/79 veel kleiner zijn dan de ½ en 1/3 uit de arctangensformule van Euler (zie vorige paragraaf), convergeren deze ook veel sneller en heb je dus eerder p op een aantal decimalen nauwkeurig.
De
methode van Gauss-Salamin-Brent:
Aan deze methode hebben drie wiskundigen meegewerkt, en het resultaat is spectaculair. (De berekeningen echter moeilijk).
Het begon met Carl Friedlich Gauss (1777-1855). Hij wilde weten wat voor een getal het arithmetisch-geometrisch gemiddelde van a,b was. (Anders genoteerd: M(a,b)).
Uitleg:
Twee positieve
getallen a en b hebben samen een gemiddelde. Dit gemiddelde kun
je op twee verschillende manieren berekenen, namelijk als a+b/2
(rekenkundig of arithmetische gemiddelde) of als √ab (meetkundig of geometrisch gemiddelde).
We kunnen met deze methoden het gemiddelde bereken, en van dat gemiddelde ook
weer het gemiddelde, etc. In de tabel hieronder geven we dat weer. (a = √2, b = 1)
|
n |
a+b/2 |
√ab |
|
0 |
1,414213562373095048 … |
1,000000000000000000 … |
|
1 |
1,207106781186547524 … |
1,189207115002721066 … |
|
2 |
1,198156948094634295 … |
1,198123521493120122 … |
|
3 |
1,198140234793877209 … |
1,198140234677307205 … |
|
4 |
1,198140234735592207 … |
1,198140234735592207 … |
Zoals in de tabel te zien is, gaan de getallen van de twee formules in razend tempo naar dezelfde waarde toe. De convergentie is dus heel erg snel. Het blijkt dat bij elke volgende beurt het aantal dezelfde decimalen verdubbelt.
Zoals hierboven ook al eventjes is gezegd: Gauss wilde weten wat voor getal er uitkomt wanneer je het gemiddelde blijft nemen van het meetkundige- en het rekenkundige gemiddelde. Zijn formule was:
Met ons voorbeeld van a = √2 en b = 1, komt de formule er zo uit te zien:
Een krappe 100 jaar later, rond 1973,
ontdekten Eugene Salamin en Richard Brent hoe je met behulp van Gauss’ formule p kon uitrekenen.
We maken weer een tabel, zoals we hierboven
ook al hebben gedaan, en voegen er twee kolommen aan toe. (Wn
= 2n (a2n – b2n) en
Hn = 2a2n /1
– W1 – W2 - … - Wn)
|
n |
a+b/2 |
√ab |
Wn
= 2n (a2n – b2n |
2a2n
/1 – W1 – W2 - … - Wn |
|
1 |
1,207106781 … |
1,189207115 … |
0,085786437 … |
3,187672642 … |
|
2 |
1,198156948 … |
1,198123521 … |
0,000320398 … |
3,141680293 … |
|
3 |
1,198140234 … |
1,198140234 … |
0,000000002 … |
3,141592653 … |
Zoals je in de laatste kolom ziet, is p al na drie stappen in 9 cijfers achter de komma correct berekend. Na vier stappen blijken dat er 20 te zijn, en na 25 stappen al 45 miljoen! Na elke stap verdubbeld grof het aantal juiste decimalen van p.
De
methode van Ramanujan-Chudnovsky:
Deze methode om p mee te berekenen werd ontdekt door Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Later maakten andere wiskundigen gebruik van zijn formule om p mee te berekenen. De bekendste formule komt uit 1994 en is die van de broers David en Gregory Chudnovsky.
Ramanujan’s ingewikkelde formule was de volgende:
Opmerking: K! staat voor de getallen
1,2,3, …, k. Voorbeeld: 2! = 1 x 2, 3! = 1 x 2 x 3.
p berekenen gaat met deze formule erg snel.
We noemen de formule even R(n), en
k = 0, 1, 2, …, n.
We krijgen dan de volgende tabel:
|
n |
1/R(n) |
|
0 |
3,141592730013305660313996 … |
|
1 |
3,141592653589793877998905 … |
|
2 |
3,141592653589793238462649 … |
Bij elke volgende beurt komen er ongeveer acht goede decimalen van p bij. Bij n=2 zijn er al 17 juiste decimalen van p gevonden.
Zoals eerder gezegd, maakten de broers Chudnovsky een variant op de formule van Ramanujan. Deze ziet er als volgt uit:
De broers berekende hiermee p in 4 miljard decimalen nauwkeurig.
Simon Plouffe heeft samen met Peter Borwein en David Bailey gezocht naar een nieuwe p-formule. Eind september 1995 was die klaar:
Het bijzondere aan deze formule is dat hij
werd gevonden met behulp van de computer. Ook kun je met deze formule een
willekeurig getal als uitkomst krijgen, zonder dat je de voorgaande decimalen
kent.
Tegenwoordig doet dus de computer
verzinnen, uitwerken en antwoorden voor de mens!