Inhoud:

*  De somnotatie

*  de meetkundige reeks

 

Dit onderdeel bevat theorie die nodig is bij het onderdeel “Berekeningen”.

 

De somnotatie:

We kunnen formules verkort opschrijven, door gebruik te maken van het ∑-symbool.

(Griekse hoofdletter S, van som). Zo kan je de formule 1/1 + ½ +1/3 + … + 1/n ook opschrijven als:

 

* 

 

De ∑ wil zeggen dat het om een som gaat. De 1/k staat voor de vorm van de sommen. We laten k lopen van 1 tot n. Dit kun je zien, omdat er onder het ∑ symbool “k=1” staat. Boven het ∑ symbool staat een n.

 

Het nut van het verkort opschrijven is dat oneindige reeksen niet meer met “…” aangegeven hoeft te worden. Bovendien is het overzichtelijker (vooral bij ingewikkelde formules) en is het minder werk om het op te schrijven.

 

De meetkundige reeks:

De meetkundige reeks is een reeks die we nodig hebben voor de “Arctangensreeks”. Deze reeks is te vinden bij”Berekeningen”. De meetkundige reeks is de bekendste reeks van allemaal:

 

Neem een getal x. nu is het de bedoeling dat je de oneindige reeks x0 + x1 + x2 + x3 + … (etc.)  uitrekent, op voorwaarde dat hij convergeert. Dit kan alleen als | x | < 1, want anders zouden de termen xn niet eens naar nul gaan als n à ∞.

Opmerking: de oneindige reeks die hierboven staat, kan ook als volgt worden opgeschreven: 1 + x + x2 + x3 + … (x0 is immers altijd 1!)

Nu gaan we voor de n de eerste n-termen (1 + x + x2 + … + xn–1) uitrekenen. We noemen deze som Sn. Voor deze Sn kunnen we een formule geven. We schrijven Sn en xSn onder elkaar, en strepen vervolgens de gelijkheden in beide formules weg:

 

*  Sn   = 1 + x + x2 + x3 + … + xn-2 + xn-1

*  xSn =        x + x2 + x3 + … + xn-2 + xn-1 +xn

 

Na het wegstrepen van de gelijkheden in beide formules (onderstreept in de formules) blijven alleen de 1 en xn over. Nu gaan we Sn en xSn van elkaar aftrekken. Je krijgt dan:

 

*  Sn – xSn = 1 – xn                      (1 – xn ≠ 0      dus:      x ≠ 1)

 

Nu kunnen we aan beide kanten van de formule delen door 1 – x. wat we dan krijgen heet de “Meetkundige som”:

 

*  Sn = 1 – xn/1 – x                             (x ≠ 1)

 

We kunnen dit ook iets anders opschrijven:

 

*  1 + x + x2 + … + xn-1  =  1/1–x  +  Restn    à   Restn = - xn/1-x

 

Deze gelijkheid kunnen we nu als volgt omschrijven: de som 1 + x + x2 + … + xn-1 is bijna gelijk aan 1/1-x. De Restn is dus heel klein, en dat is het geval als | x | < 1 !

Nu laten we n à ∞ gaan. Als we dat doen, gaan | x |n en Restn à 0.

Het gevolg is dat voor elke x met –1 < x < 1 geldt:

 

*  1 + x + x2 + x3 + … =  1/1-x

 

We noemen dit de “Meetkundige reeks”. Ook is dit de eerste oneindige reeks waarvan we de som precies hebben uitgerekend. Als voorbeeld vullen we nu in: x = 1/4 en x = 1/2:

 

*  1 + 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3 + … =  1/1-(1/4)  = 11/3.

*  1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + … =  1/1-(1/2)  = 2

 

We kunnen de Meetkundige reeks ook opschrijven als een somnotatie. (Zie hierboven bij “Somnotatie”). De formule komt er dan zo uit te zien:

 

* 

 

We laten k naar oneindig lopen.