Inhoud:

Inleiding (+trancentaal)

Normaal (?)

Irrationaal

Inleiding:

Ondertussen is bekend dat p een oneindig getal is. Het is een getal dat we niet kunnen bevatten, het is dus een transcentaal getal. Dit werd pas bewezen in 1882 door Lindemann. Maar er zijn nog meer eigenschappen en kenmerken van p. Daarover gaat dit hoofdstuk.

Normaal (?):

Een getal is normaal als elk cijfer op zich gemiddeld 1 keer op de 10 voorkomt en als elke 2- cijferige combinatie 1 keer op de 100 voorkomt, enz.... Ondanks dat het cijfer 7 in de eerste 608 cijfers van p na de komma slechts 44 keer voorkomt, blijkt p zich toch normaal te gedragen. Men heeft p immers reeds tot op vele miljoenen decimalen berekend en zo komt in de eerste 6 biljoen decimalen van p, elk van de cijfers 0 tot 9 ongeveer 600 miljoen keer voor. Ondanks dit resultaat, is dit geen voldoende bewijs dat p normaal is.

Irrationaal:

Breuken worden ook wel rationale getallen genoemd. “Ratio” wijst op de verhouding van twee hele getallen, bijvoorbeeld ½. Getallen die je niet als breuk kunt schrijven zijn irrationaal. p is irrationaal. Dat vermoedde men al vanaf de oudheid, maar pas in 1768 slaagde de wiskundige Lambert erin dit aan te tonen. Hij gebruikte hiervoor n! (n faculteit), het product van de getallen 1 tot en met n. Een aantal voorbeelden:

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120

Het blijkt dat n! heel snel met n groeit, sneller dan elke functie van de vorm qⁿ. De bewering die je nu kunt maken is:

Stel q > 0, dan gaat qⁿ/_n! naar nul als n à ∞.

Dat wordt duidelijk als we de verhouding als product opschrijven;

qⁿ/_n! = ^q/₁ x ^q/₂ x ^q/₃ x ^q/₄ … ^q/_{n – 1} x ^q/_n

Als een getal k groter is dan 2q dan is ^q/_k kleiner dan ½. In het product dat we hierboven hebben uitgeschreven treden dus vanaf zeker moment alleen maar factoren <¹/₂ op. Naarmate n groter wordt, worden dat er steeds meer. Dus qⁿ/_n! à 0 als

n à ∞. Het idee van het bewijs is dat we voor willekeurige n naar de volgende integraal kijken:

We gaan nu I_n uitrekenen voor n = 2, 3, 4, 5, 6:

I₂ = -2p² + 24

I₃ = -24p² + 240

I₄ = 2p⁴ - 360p² + 3360

I₅ = 60p⁴ - 6720p² + 60480

I₆ = -2p⁶ + 1680p⁴ - 151200p² +1330560

In het algemeen blijkt I_n een combinatie van 1, p, p², p³, …, pⁿ met gehele coefficienten te zijn. De uitkomsten uit de formules zijn heel klein. Twee voorbeelden:

I₁₀ = 0,00185448…

I₂₀ = 1,70 x 10^-11

Dat deze waarden zo klein worden, zien we door een bovenschatting van de integraal te geven, er geldt voor alle x є [0, p]:

0 ≤ x(p - x) < p²/4 < 3 &

0 ≤ sin x ≤ 1

Dus voor elke n:

Dat de getallen I_n zo klein zijn, komt door de n! in de noemer van de bovenschatting. Deze is namelijk heel groot (zie voorgaande uitleg), en wanneer je deze in de noemer zet, ontstaat een heel klein getal.

Nu maken we ons irrationaliteitsbewijs af. Stel nou dat p een breuk is, bijvoorbeeld

p = ^p/_q. dan zijn de getallen I_n ook rationaal. Een voorbeeld:

I₆ = -2p⁶ + 1680p⁴q² – 151200p²q⁴ + 1330560q⁶ / q⁶

Omdat I₆ een integraal is van een positieve functie, geldt I₆ > 0. Maar er geldt meer. Een positieve breuk met noemer d is altijd groter of gelijk aan 1 gedeeld door die noemer, dat wil zeggen, ¹/_d. Dus, voor I₆ geldt dat I₆ ≥ ¹/_q⁶. Op dezelfde manier geldt voor willekeurige n dat I_n ≥ ¹/_qⁿ. Combineren we dit met de bovenschatting voor I_n, dan vinden we voor elke n de ongelijkheid:

Vermenigvuldiging met qⁿ:

Nu krijgen we iets totaals onzinnigs. We weten dat (3q)ⁿ/_n! à 0 als n à ∞. Dus uit de bovenstaande formule zou volgen: 1 ≤ 0. blijkbaar heeft p = ^p/_q tot deze onmogelijkheid geleid. We kunnen niet anders concluderen dat p irrationaal is!