Inhoud:
Op de een of andere manier
heeft het getal p
altijd tot de verbeelding van zowel wiskundigen als niet-wiskundigen gesproken.
Waarschijnlijk is p het meest beschreven getal uit de geschiedenis. We
geven hier een paar voorbeelden tot waartoe al die belangstelling voor p toe heeft geleid.
Allereerst is er het
merkwaardige verhaal van de Amerikaanse (pseudo) wiskundige E.J.Goodwin uit
Solitude, Indiana, USA. Hij kreeg een politicus zover dat deze het Huis van
Afgevaardigden van de staat Indiana een wetsontwerp indiende waarin de waarde
van p
werd vastgelegd. Dit gebeurde in 1897. Daaruit zal je zelfs zien dat er
meerdere waarden van p uit gedestilleerd kunnen worden, allen even onzinnig
Goodwin zelf had zelf p = 3,2 in gedachten. Hoe dan ook, de staat Indiana zou
het recht krijgen vrij gebruik te maken van Goodwin’s “ontdekking” voor
onderwijsdoeleinden. Wonderlijk genoeg passeerde de wet het Huis van
Afgevaardigden. Intussen was het via de pers duidelijk geworden dat de politiek
zich hiermee belachelijk begon te maken. Gelukkig maakte de Senaat er einde aan
door te verklaren dat p geen onderwerp voor wetgeving is.
Een ander voorbeeld van p-gekte bestaat uit mensen die er een sport van maken
zoveel mogelijk decimalen van p te onthouden. Het geregistreerde record van zoveel
mogelijk decimalen van p te onthouden staat op naam van een Japanner, Hiroyuki
Goto, die in 1995 in negen uur tijd 42000 decimalen van p uit zijn hoofd voordroeg.
14 maart is het internationale p-dag. Deze dag is
gekozen, omdat 14 maart ook kan worden opgeschreven als: 3/14. En dit zijn de
eerste drie cijfers van p. Op p-dag worden
allerlei dingen die met p te maken hebben
georganiseerd.
Er zijn ook ezelsbruggen om
decimalen van p te onthouden.
Als we in de volgende zin elk woord vervangen door het aantal letters het woord
heeft krijg je de eerste 15 letters van p.
How I want a drink, alcoholic of course, after
the heavy lectures involving quantum mechanics!
Ook op internet zijn er allerlei leuke dingetjes voor p.
Op www.angio.net/pi/piquery/piquery.html kun je een rijtje cijfers intikken en als antwoord op het eerste punt vinden waar dit rijtje in de decimalen van p voorkomt.
Leuk om geboortedatums in te vullen… Een voorbeeld:
7777777 komt voor de
eerste maal voor in decimaal 3346228 en voor de tweede maal vanaf decimaal
3775287.
Men denkt dat in de decimale
ontwikkeling van p elk
eindig rijtje van getallen oneindig vaak voorkomt. Maar dit is nog lang niet
aangetoond, het schijnt een erg moeilijk probleem te zijn.
(Zie ook bij “p kenmerken”)
Buffon
voerde in de 18e eeuw experiment uit, waarbij hij p
benaderde. De proef ging als volgt:
Pak
en naald, en laat die vanaf ongeveer 30cm hoogte
vallen op een blaadje papier, waar je horizontale lijnen op
tekent. De afstand tussen twee lijnen is even groot als de
lengte van een naald.
Herhaal
de proef vaak. (Wij deden hem 100 keer). Er zijn
twee mogelijkheden: de naald valt op een lijn, of niet.
Noteer of de naald erop viel of niet.
Kijk hoe groot de kans is dat de naald op de lijn valt. Volgens Buffon
geldt nu het
volgende: de kans dat de
naald op de lijn valt is gelijk aan 2/p.
Voorbeeld:
|
100
keer naald laten vallen |
|
|
Op
de lijn: |
Tussen
de lijnen: |
|
64 |
36 |
Kans dat de naald op de lijn valt = 64/100 = 0,64
2/0,64 = 3,125. (Is ongeveer p)
Een niet zo gek voorbeeld,
maar wel een mooi voorbeeld van recente publicatie rond p was de “p in de Pieterskerk-manifestatie” in Leiden op 5 juli 2000.
Ludolph van Ceulen heeft op zijn grafsteen de 35 decimalen van p laten beitelen. (Zie ook “Geschiedenis”,
“Berekeningen” en “Personen”) Helaas is deze steen spoorloos verdwenen. De
afgelopen jaren zijn er regelmatig toeristen, zowel wiskundigen als niet-wiskundigen
geweest die tevergeefs Van Ceulen’s grafsteen in de Pieterskerk zochten. In
1999 vatte Prof. Dr. Hendrik Lenstra het plan op om een nieuwe grafsteen te
laten plaatsen en deze in het jaar 2000, het jaar van de wiskunde, te
onthullen. Een mooie publiciteitsstunt waarmee het hopelijk ook de wiskunde op
positieve manier in beeld kwam.
Op deze steen staat de
volgende tekst:
Hier liet begraven Mr.
Ludolph van Ceulen. Gewefe Nederduytsch profeffor in de wisconstige
wetenschappen inde Hoge Schole deser stede. Geboren in hiledsheim
int jaer 1540 den XXVIII January ende gestorven den XXXI december 1610
de welcke in syn leven door veel arbeyds des ronds omloops naeste reden
tegen syn middel lyn gevonden heeft als hier volcht. Als de middellyn is 1 dan is de omloop meerder als 3,14159265358979323846264338327950288 en minder als 3,14159265358979323846264338327950289 en als middellyn is 100000000000000000000000000000000000 dan is omloop 314159265358979323846264338327950289
Wij zijn in de kerk gaan
kijken en hebben een aantal foto’s genomen van die steen:
In de volgende twee tabellen vind je een overzicht met betrekking tot het aantal bekende decimalen van p door de eeuwen heen. In de eerste tabel (voor de 20e eeuw) zijn alle recordresultaten met de hand berekend, in de tweede tabel (na de 20e eeuw) met de computer. Merk op hoe groot het gat is tussen de tijd van het eind van de eerste en het begin van de tweede tabel. Op de laatste regel van de eerste tabel zien we ook dat W.Shanks maar liefst 707 decimalen berekend had met de hand! Zeventig jaar later bleek dat alleen de eerste 527 decimalen correct waren.
We moeten er nog aan toevoegen dat deze tabellen niet alle recordberekeningen bevatten. Met name in de tweede tabel hebben we alleen de records opgenomen die een forse sprong vooruit betekenden. Eind 2003 waren er 1.240.000.000.000 decimalen van p berekend.
|
R e c o r d
s t o t d e 2 0 e e e u w |
|||
|
Naam |
Jaar |
Waarde |
Decimalen |
|
Babyloniers |
2000 v.Chr. |
31/8 |
1 |
|
Egyptenaren |
2000 v.Chr. |
(16/9)2 |
1 |
|
Archimedes |
250 v.Chr. |
3,141….. |
3 |
|
Tsu Ch’ung Chih |
480? |
3,141592 (= 355/113) |
6 |
|
Al-Kashi |
1429 |
|
14 |
|
L. van Ceulen |
1609 |
|
34 |
|
J.Machin |
1706 |
|
100 |
|
W.Shanks |
1874 |
707 decimalen |
527 |
|
R e c o r d s v a n a f d e 2 0 e e e u w |
||
|
Naam |
Jaar |
Decimalen |
|
Rietwiesner et al(ENIAC) |
1949 |
2 037 |
|
Guilloud |
1959 |
16 167 |
|
Shanks en Wrench |
1961 |
100 265 |
|
Guilloud en Bouyer |
1973 |
1 001 250 |
|
Kanada, Yoshino en Tamura |
1982 |
16 777 206 |
|
Kanada, Tamura, Kobo et al. |
1987 |
134 217 700 |
|
Chudnovsky en Chudnovsky |
1989 |
1 011 196 691 |
|
Chudnovsky en Chudnovsky |
1994 |
4 044 000 000 |
|
Kanada en Takahashi |
1997 |
51 539 600 000 |
|
Kanada |
1999 |
206 158 430 000 |
|
|
2003 |
1 240 000 000 000 |